Métodos Numéricos en la Informática

Los métodos numéricos son una serie de algoritmos matemáticos diseñados para encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos. Se utilizan cuando las ecuaciones algebraicas tradicionales no pueden resolverse de manera sencilla.

¿Por qué son importantes los métodos numéricos en informática?

Desde hace siglos, los matemáticos han usado métodos numéricos para resolver problemas manualmente, lo que era un proceso lento y propenso a errores. Con la llegada de las computadoras, estos métodos se automatizaron, permitiendo cálculos más rápidos y precisos.

Según el profesor Alberto Angarita:

"El análisis numérico resulta ser la manera natural de resolver modelos matemáticos, tanto en matemáticas continuas como en discretas, a través de la computadora."

Esto significa que los métodos numéricos son esenciales para la informática, ya que facilitan la resolución de problemas matemáticos mediante software y hardware.

Aplicaciones en la informática

Los métodos numéricos se utilizan en diversas áreas de la informática, como:

• Ciencia de Datos (Data Science): Para analizar grandes volúmenes de datos y aplicar algoritmos de aprendizaje automático.
• Análisis de Datos (Data Analytics): Para encontrar patrones y tendencias en datos financieros, médicos o de redes sociales.
• Bases de Datos (Database Management): Para optimizar consultas y procesamiento de datos masivos.
• Inteligencia Artificial: Algoritmos de optimización numérica se usan para entrenar redes neuronales en machine learning.
• Simulación de Vuelo: Pilotos y aerolíneas usan simulaciones basadas en ecuaciones diferenciales para entrenarse sin necesidad de poner en riesgo vidas.
• Modelado Financiero: Se usan métodos numéricos para calcular riesgos y predicciones en mercados bursátiles.
• Procesamiento de Imágenes: Aplicados en medicina para mejorar la calidad de imágenes de resonancia magnética o tomografías.

Uso de Métodos Numéricos en Software

Muchas herramientas informáticas incluyen métodos numéricos en su funcionamiento. Algunos ejemplos son:

• Excel: Usa interpolación y regresión numérica para análisis estadísticos.
• MATLAB y Python (NumPy, SciPy): Permiten resolver ecuaciones diferenciales y optimizar cálculos.
• Motores Gráficos en Videojuegos: Utilizan algoritmos numéricos para cálculos físicos, como la simulación de colisiones.

Tipos de Métodos Numéricos

Existen varios tipos de métodos numéricos según el tipo de problema que resuelven. Algunos de los más importantes son:

1. Métodos de Interpolación y Aproximación

Estos métodos permiten encontrar valores intermedios dentro de un conjunto de datos conocidos.

Ejemplo práctico:

Un meteorólogo tiene registros de temperatura de una ciudad cada 3 horas. Si desea conocer la temperatura a una hora específica que no fue registrada, puede usar interpolación para estimarla con precisión.

Métodos comunes:

• Interpolación de Lagrange
• Splines cúbicos

2. Métodos de Solución de Ecuaciones No Lineales

Ayudan a encontrar raíces de ecuaciones que no tienen una solución algebraica exacta.

Ejemplo práctico:

Supongamos que un ingeniero está diseñando una turbina y necesita calcular la velocidad óptima de rotación para maximizar la eficiencia. Muchas ecuaciones de ingeniería no tienen soluciones exactas, por lo que se usan métodos numéricos para aproximarlas.

Métodos comunes:

• Método de Bisección
• Método de Newton-Raphson
• Método de la Secante

Algoritmo Secante

3. Métodos de Álgebra Lineal Numérica

Estos métodos se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, esenciales en simulaciones y modelos computacionales.

Ejemplo práctico:

En gráficos por computadora, como en videojuegos o animaciones 3D, los motores gráficos resuelven sistemas de ecuaciones lineales para calcular la iluminación de una escena en tiempo real.

Métodos comunes:

• Eliminación de Gauss
• Método de Jacobi

4. Métodos de Integración y Diferenciación Numérica

Permiten calcular derivadas e integrales de funciones complejas que no pueden resolverse fácilmente de manera analítica.

Ejemplo práctico:

En la industria automotriz, los ingenieros usan integración numérica para calcular la distancia recorrida por un vehículo basándose en mediciones de aceleración.

Métodos comunes:

• Regla del trapecio
• Método de Simpson

5. Métodos para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales

Son esenciales en la simulación de sistemas físicos y biológicos.

Ejemplo práctico:

En biomedicina, los modelos matemáticos de propagación de enfermedades usan ecuaciones diferenciales para predecir cómo se expandirá un virus en una población.

Métodos comunes:

• Método de Euler
• Método de Runge-Kutta

Repositorio

A continuación, les dejo mi repositorio de recopilación de métodos hechos en Wolfram Mathematica. Link

Referencias

1. Chapra, S., & Canale, R. (2015). Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw-Hill.
2. Burden, R., & Faires, D. (2016). Análisis Numérico. Cengage Learning.
3. Angarita, A. (2020-2021). Apuntes de análisis numérico. Departamento de Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander.